方超开始审题。 通常来说，IMO赛事每天的三道题也分为普通、困难、地狱三种模式，而有时候IMO赛事的话会比较变态，他们的模式会上升一个等级的难度，例如说困难、地狱、炼狱三种模式。简直变态的不要不要的。 当然，这些都要看主试委员会的想法。 第一道题是酱紫的。 设整数集合为Z，求所有函数f：Z→Z使得对任意整数a，b都有f（2a）+2f（b）=f（f（a+b））。 这道题！ 这一道题…… 爽啊！！ 在集训营的最后半个月时间，林教授特地又强调了一下函数，同时在这样子的题型之上足足做了六七道的模拟题，将六人对于函数的理解直接上升了一个台阶。 眼下这一道题近乎可以肯定不是出自林教授的手笔，全球一百多个国家，每个国家三到五道题的产生，由主试委员会进行筛选，一个国家能够选到一题的可能性都微乎其微，倒是韩国教授的几次出题都被选中，因此也声名鹊起。 这一道题很明显不是来自于林教授，如果是林教授的话，绝对会出到相似的题目，只是转换几个数据而已，可就算如此的话，方超内心中也是喜悦。 因为万变不离其宗。 啧啧…… 组委会啊！ 你们还是太小瞧我们国家队的实力了！ 我们国家队每天做那么多的练习题是为了什么？要论基础水平的话，我们国家称第二，哪一个敢称第一？ 你以为我们这么强就只是因为每天做那么多的练习题么？ 当然不是，我们变强除开每天大量的练习之外，还与每天俯卧撑一百个、仰卧起坐一百个、下蹲一百个以及跑步十千米分不开！ 我们察觉到我们的变化，我们变强了，因为我们秃了！ 为了国家抛头颅，洒热血，当仁不让。 这一道题，我们拿下了！ 如果连这一道题都错失的话，那么谁错了，谁就可以回家种田了。 连这样子难度的题目都搞不定，选你出来有什么用？ 方超热血沸腾！ 体内的战血在飙升！ 这一刻，这一时，这一秒，民族的战魂觉醒了。 解： 由f（2a）+2f（b）=f（f（a+b）），取a=0。 得到f（0）+2f（b）=f（f（b））对所有整数b都成立。 同时，在原式中，以a+b代替b，得到f（f（a+b））=2f（a+b）+f（0）带回原式又得到2f（a+b）+f（0）=f（f（a+b））=f（2a）+2f（b）。 取a=b+1，于是f（0）+2f（b+1）=f（2）=2f（b） 即f（b+1）-f（b）=1/2（f（2）-f（0））=C是一个常数。 IMO所考的内容不外乎就是代数、数论、几何、组合数学、组合几（本章未完，请翻页）